INTERPRETACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA

Dos de las interpretaciones clásicas de las derivadas se dan en términos de la velocidad de un cuerpo en movimiento, y de la tasa de cambio de una función. Ambas interpretaciones tuvieron su origen en el estudio de diversos problemas de Física y de Matemática, sin embargo, desde entonces han encontrado aplicación en muchas áreas. Por ejemplo, el análisis marginal en Economía se comprende más fácilmente en términos de la tasa de cambio de una función.

I.-  TASA  DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN

 Sean p y q las letras que designan las magnitudes de dos variables relacionadas, y considérese a q como una función de p, es decir  q=f(p).

  • la razón Δp/Δq es la relación de cambio instantánea de q con respecto a p, o bien, la tasa de cambio de q con respecto a p. En economía p es precio y q es cantidad.
  • la relación de cambio instantánea de una cantidad variable q con respecto a una cantidad variable relacionada p, equivale a la derivada de q respecto a p, esto es  dp/dq.
  • la expresión tasa de cambio de una función es matemáticamente equivalente a derivada de la función.
  • Si la variable q puede expresarse como función del tiempo, entonces dq/dt  es la rapidez de cambio p o tasa de cambio respecto al tiempo.

Significado Geométrico de la Derivada = y’ = f(x)‘ = dy/dx = df(x)/dx

Significa derivar respecto a x o sea x es la variable.

La derivada de una función y = f(x)  en el punto A es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto; en este caso el Punto A[a,f(a)]

Inicialmentre trazamos una recta secante que pasa por los puntos A[a,f(a)] y el B[a+h,f(a+h)]; de donde se deduce que la imagen a es y1 = f(a) y la imagen de (a+h) es y2 = f(a+h) y donde en el eje X de la abscisa se ubican el x1 = a y el 2do punto en B el x2 = a+h.  

Por tanto A(x1 ,y1 ) = [a, f(a)]   y B(x2 ,y2 ) = [a+h, f(a+h)] 

Por definición necesitamos hallar la pendiente de dicha recta secante la cual está dada por m = ( y2 – y1 ) / ( x2x1 ). Luego reemplazando tenemos:

m = ( y2 – y1 ) / ( x2 – x1 ) =

= [ f(a+h) – f(a)] /[ a+h – a] =

= [ f(a+h) – f(a)] / [ a+h – a] =

= [ f(a+h) – f(a)] / [ h ] =

= [ f(a+h) – f(a)]/h

= m     Pendiente

= dy/dx

= y’

= f(x)’ ; Es decir la derivada es la pendiente de una función. Es la variación o tasa de cambio. Es el concepto de Marginal en Economía.

Y tang(α) ; porque ademas nos permite conocer el ángulo que forma la recta tangente en la intersección con el de la abscisa X. (Trigonometría)

Ahora bien, como la distancia entre x2 = a+h y x1 = a es h; necesitamos disminuir esa distancia  lo más mínimo posible es decir necesitamos que esa diferencia que es h tienda a cero. (se denota ( h →0) )

Y esto es sólo posible a través del límite de la pendiente m = [ f(a+h) – f(a)]/h y que  h tienda a cero ( h →0); lo que se expresa por:

                                   lim [ f(a+h) – f(a) ] / h = dy/dx= y’
                                         h→0

Es decir si la distancia h va siendo cada vez más cercana o tendiendo a cero tendremos que el punto x1  será coincidente con x2 y por lo tanto el Punto A sera coincidente con el punto B y la recta secante inicial será ahora una recta tangente a la función f(x) en un punto A.

Por tanto se deduce que la pendiente de una función es la derivada de esa función. Y la Derivada es variación (Concepto de marginal en economia) razón por la que necesitamos saber derivar.

Ahora bien; para no usar los límites de una función lo haremos con un Formulario de Derivación.

FORMULARIO Derivación de Funciones PJFM

a) Aprenderemos a usar la formula básica o derivada de una potencia  (Xm ) = mXm-1 :

Ejemplo 1:    (X7 ) = 7X7-1  = 7X6 ; es decir el exponente baja multiplicado a la base y posteriormente al exponente se le resta siempre 1.

Ejemplo 2:    (8X10 ) = 10* 8X10-1  = 80X9 

Ejemplo 3:    (9X -5 ) = –5* 8X -5-1  = -40X -6 = -40 / X6 

Ejemplo 4:    (√x)’ = (x1/2 ) = 1/2 * x1/2-1  = (1/2) * x-1/2 = ( 1/2) / x+1/2 = (1/2) / √x = 1 /(2√x) 

b) La derivada de una constante es cero:

Por definición (c ) = 0

Ejemplo 1:    (5 ) = (5*1 )(5*X0 ) = 0* 5X0-1  = 0

Por lo tanto de aquí en adelante asumiremos que la derivada de un número o constante cualquiera es cero; adicionalmente si gratificamos la función y=f(x) =5; su gráfica sería una recta horizontal que corta al eje Y en el número 5 y como es horizontal (plana) no tiene pendiente osea es cero.

Ejemplo 2:    (3 ) = 0        Ejemplo 3:   (7 ) = 0    Ejemplo 4:   (k ) = 0    Ejemplo 5:    (a ) = 0        Ejemplo 6:   (a ) = 0    Ejemplo 6:   (b ) = 0 Ejemplo 6:   (y ) = 0;  ya que x es la variable e y es una constante.

Veamos otro ejemplo: Por fórmula (8)’ = 0, con 8 cte.

(8)’ = (8*1)’ = (8* x0 )’ = 8* 0x0-1 = 0   Por regla básica (xm )’ = mxm-1 

Como Ecuación de la recta:

y  = 8
y  = 0 + 8
y  = 0x + 8; es una línea recta.
y  = 0x1 + 8 ;  y ahora derivamos esta ecuación lineal
y’ =1* 0x1-1 + 0
    = 0 + 0
    = 0 

Observe además que la ecuación lineal tiene la forma y  = 0x + 8 donde por definición esta es y=mx+n; donde la pendiente es m = 0 y el intercepto es n=0

La importancia de este ejemplo anterior radica en que se comprueba que la derivada es cero  y la pendiente m es cero. por cuál “La derivada es igual a la pendiente”.

c) También se nos puede presentar mucho   (x ) = 1 ; porque en este caso en particular x es la variable a diferencia de y

d) Normalmente nos  encontraremos con expresiones tales como :

(3x ) = 3  porque (3x )´ = (3x1 )´ = (1*3x1-1 ) = (3x0 ) = (3*1 ) = 3

Por tanto:

Ejemplo 1:    (4x ) = 4        Ejemplo 2:   (5x ) = 5    Ejemplo 3:   (6x ) = 6   

Ejemplo 4:    (7x ) = 7        Ejemplo 5:   (ax ) = a    Ejemplo 6:   (bx ) = b 

Otros:

(x3 ) = (3x2 ) porque x es la variable  o sea  dy/dx Notación de Leibniz

(a3 ) = 0 ; porque a es constante y la variable es x

Observación: Los ejercicios inicialmente se explicaran paso a paso. evitando caer a futuro en exceso de información por lo cuál  iremos eliminando algunos pasos ya innecesarios.

  1.  

Impactos: 0